Analyse numérique des systèmes mécanique
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Analyse numérique des systèmes mécanique

Analyse numérique des systèmes mécaniques

Ce tutoriel vous permettra de palier aux différents calculs que vous pourrez trouver dans un système mécanique tel qu’un moteur ou encore un chassis. Il pourra également aider les étudiants en BTS AVA ou MCI désirant avoir un résumé des formules qui sont dans le référentiel.

Les ressorts

Lorsque l’on exerce une force sur un ressort, il se déforme et absorbe une quantité d’énergie qu’elles restituent plus ou moins vite. Les ressorts sont classés suivant les sollicitations reçues. Nous trouvons alors des ressorts  :

  • de compression ( ex: cylindriques à spires sur les soupapes ou rondelles ressorts sur les embrayages ) ,
  • de traction ( ex: cylindriques à spires avec crochets sur les fixation de pot d’échappement ),
  • de torsion ( ex: à spirale sur les herses en agriculture ) et
  • de flexion ( ex: à lame sur les suspensions camions ).

Les formules sont valables pour l’ensemble des ressorts:

Statique :     P = F / S     ;     F = k x X0

Cinématique : V = d / t

P : pression en Pascal ( Pa )
F : force en Newton ( N )
S : surface en mètre carré ( m² )
k : constante de raideur en N/mm
X0 : longueur du ressort initial – longueur du ressort comprimé
V : vitesse en m/s
d : distance en mètre (m)
T : temps en seconde (s)
 

Lorsque l’on associe des ressorts, la constante de raideur varie selon si le montage est en parallèle ou en série:

 

Montage en parallèle : k = k1 + k2 + k3

Montage en série : k = 1 / (1/k1) + (1/k2) + (1/k3)

La thermodynamique

La thermodynamique est l’étude des forces de pression à l’intérieur d’une surface fermée. Lors d’un changement d’état, nous pouvons trouver 4 différentes transformations: isochore, isobare, isotherme et adiabatique.

Les Formules:

Transformation Isochore Isobare Isotherme Adiabatique
Relation entre les variables d’état V = constante= constante P = constante= constante T = constanteP x V = constante P x V = Constante
Travail : W 0 -P2 x (V2-V1) mrTln ( )-mrTln (  ) Mcv x (T2-T1)
Transfert thermique: Q mcv x (T2-T1) mcp x (T2-T1) Q = -W 0
Variation d’énergie interne: ∆U Mcv ( T2-T1)∆U = Qv Mcv (T2-T1)∆U = Qp 0 mcv (T2-T1)∆U = W

Index:

P: Pression en Pascal ( Pa )
V: Volume en m^3
T: Température en kelvin
Q : quantité de chaleur en joule ( J )
W : travail en joule ( J )
 
Mécanique des fluides

Statique des fluides:

 P = F / S

P : pression en pascal ( Pa )
F : force en Newton ( N )
S : Surface en m²
 

Le principe fondamentale de la statique des fluides peut être appelé hydrostatique.  Principe: dans un fluide en équilibre, la différence des pressions en deux points est mesurée par le même nombre que le poids d’un cylindre de fluide ayant pour base l’unité d’aire et pour hauteur la dénivellation entre les deux points.

Poids volumique du liquide

W = ρ x g

Pa-Pb = h x ρ x g

h: hauteur en mètre (m)
ρ: masse volumique d’un fluide en kg.m-3
g: gravité ( en général = 9.81 )
Pa-Pb: sont les pressions en pascal (Pa) a deux points différents
 
Dynamique des fluides:

Tout d’abord c’est la conservation de la matière pour un fluide en mouvement qui est défini par le débit volumique et le débit massique.

Débit volumique: Dv = S x v

S: surface en m²
v: vitesse en m.s
 

Débit massique: Dm = ρ x S x V

 

Conservation de la masse: S1.v1 = S2.v2

Dm1 = Dm2

Dv1 = Dv2

La conservation de l’énergie mécanique par un fluide en mouvement est défini par le théorème de bernoulli:

 .ρ.V1² + P1 + ρ.g.Z1 =  . ρ.V2² + P2 + ρ.g.Z2

V : volume en m^3
P : pression en pascal ( Pa )
g : gravité

 

L’écoulement des fluides peut être laminaire s’il se produit à faible vitesse, que les pertes de charge faible et turbulent si le fluide fait des tourbillons, pertes de charge importantes. La nature de l’écoulement s’évalue grâce au nombre R de Reynolds (Pas d’unité).

R = ( ρ x V x d )  / μ

μ: viscosité dynamique en Pl
V: vitesse en m.s
d: diamètre d’écoulement en mètre (m)
 

Si R est inférieur à 2000 : l’écoulement est laminaire

Si R est supérieur à 3000: l’écoulement est turbulent

R est entre 2000 et 3000 l’écoulement est alors incertain

Les engrenages

Les engrenages transmettre, sans glissement, un mouvement de rotation continu entre deux arbres rapprochés. Un engrenage est constitué de 2 roues dentées:

  • Le pignon : la plus petite des deux roues dentées
  • La roue : la plus grande des deux roues dentées

Une combinaison d’engrenages s’appelle un train d’engrenage. Il y a une roue menante et une roue menée, la première entraine la deuxième.

Nous pouvons trouver trois types d’engrenages:

  • les engrenages parallèles
  • les engrenages concourants
  • les engrenages gauches

 

  1. Rappel des formules des rapports de transmission, valable par exemple pour une boite de vitesse moto:

r = Ws / We = Ns / Ne = De / Ds = Ze / Zs

r: rapport de transmission
W: vitesse de rotation en rad/s
N: vitesse de rotation en tr/min
D: diamètre
Z: nombre de dent
Ws: vitesse de rotation en sortie
We: vitesse de rotation en entrée
 
Calculer une vitesse:

V (m/s) = W x d / 2          ;            W (rad/s)  = ( 2 x ) / 60  

Dynamique

Schéma d’une voiture avec la force motrice, la force de frottement , P et R:

P = Fm x V (Fm = force motrice)

PFD: somme des forces extérieur = m (kg) x a (accélération)

Fm = m.a + Fr (force de frottement)

Résistance des matériaux

La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de la déformation des solides. Il permet de déterminer ou de vérifier leurs dimensions afin qu’il supporte les charges dans des conditions de sécurité.

Ce sont également les caractéristiques chimiques et physiques des matériaux utilisés qui permettent à un objet de résister aux sollicitations de son environnement.

Qu’est ce qu’un matériau? C’est toute matière qui entre dans une construction.

Aujourd’hui il y a tant de matériau qu’il n’est pas chose aisée de sélectionner le bon. Il existe des matériaux naturels (le bois ou encore la pierre) et les matériaux élaborés à base de minerais, alliages, matières plastiques synthétiques et des matériaux composites de plus en plus utilisés.

Tableau des principales caractéristiques des métaux:

 

Matériau

Couleur

Masse volumique

Température de fusion

Conductivité électrique

Autre propriété

Fer

Gris brillant

7.8

1530

Mauvaise

Oxydation rapide

Aluminium

Blanc brillant

2.7

660

Bonne

Conduit à la chaleur

Cuivre

Orange/Rouge

9

1080

Excellent

Conduit la chaleur

Zinc

Gris/Bleu

7.15

420

Mauvaise

Résiste à la corrosion

Etain

Blanc/Gris

6 à 7.5

230

Médiocre

S’oxyde peu

Plomb

Gris foncé

11.34

330

Mauvaise

S’oxyde peu

  • Index:

Couleur: C’est l’aspect naturel du métal non oxydé.

Masse volumique: Cette caractéristique indique la masse par unité de volume, elle s’exprime en kilogramme par mètre cube (kg/dm3=)

Point de fusion:Exprimé en degré Celsius (°C)

Conductibilité électrique: Capacité d’un matériau à être plus ou moins bon conducteur de l’électricité.

Formules:

Traction Cisaillement Flexion Torsion
Contrainte normale σ = N /S c = T / S σ = – E x y x θ c = G x θ x ρ
Condition de résistance Rpe = Re / Sσ maxi < Rpe Rpg = Reg / Sc < Rpg Rpe = Re / Sσ max<Rpe Rpg = Reg
  • Index:

 

Rpg: la résistance pratique

Reg: résistance élastique en Mpa (mégapascal)

S: coefficient de sécurité

Traction:

σ: contrainte normale en Mpa (mégapascal) ou en N/mm²

N: effort normal en Newton

S: aire de la section droite en mm²

Le cisaillement:

c: contrainte tangentielle en Mpa (mégapascal) ou N/mm²

T: effort tranchant

S: aire de la section droite cisaillée en mm²

La torsion:

c: contrainte tangentielle en N/mm²

G: module d’élasticité transversal en Mpa (mégapascal)

θ: angle unitaire de torsion en rad/mm

ρ: rayon en mm

La flexion:

σ: contrainte normale Mpa (mégapascal)

θ: angle unitaire de flexion en rad/mm

y: ordonnée du barycentre de la section en mm

E: module d’élasticité longitudinale en Mpa (mégapascal)

Cinématique

La cinématique est l’étude des déplacements d’un solide. Nous pourrons alors calculer sa vitesse, son accélération ou encore le temps qu’il lui faudra pour parcourir une distance.

V (m/s) = d (m) / t (s)           ;           Vb = a.t + Va             ;           a = Vb – Va / t

Va: Vitesse de départ (Point A)
Vb: Vitesse d’arrivée (Point B)
a: accélération
t: temps en seconde
 

Nous trouvons dans la cinématique trois types de mouvements:

  • Mouvements rectilignes: Un point P est animé d’un mouvement rectiligne uniforme s’il parcourt sur une droite, toujours le même sens, des distances égales pendant des durées égales.

x = V0.t + X0

  • Mouvements rectilignes uniforméments variés: La trajectoire est une droite sauf que le vecteur vitesse ne reste pas constant au cours du mouvement.

x = 1 / 2 x a.t² + V0.t + X0

  • Mouvements circulaire uniforme:  un point animé d’un mouvement circulaire uniforme, parcourt sur un cercle, toujours dans le même sens, des longueurs égales pendant des durées égales.

W = θ2 – θ1 / t2 – t1 = ∆θ / ∆t  

W: vitesse de rotation en rad/s
θ: angle
t1: temps initial
t2: temps final
 
Statique

La statique est l’étude des conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre d’un solide indéformable. Les conditions nécessaires pour obtenir l’équilibre du solide: les trois droites d’action sont coplanaires et concourantes. La dynamique des forces est fermé donc la somme des forces est égale a 0.

somme des forces extérieur = 0

PFS = R + T + P = 0 ( R, T et P sont des exemples)

Pour calculer la norme d’un vecteur il faut projeté ce vecteur sur les axes X et Y:

║P║ =

Le moment, ou couple est le produit entre une force et une distance:

║M║ = F x d

Lorsque l’on veut calculer l’angle de la pente, c’est avec cette formule:

║M║ = ║P║ x ║T║ x sin(P, T)

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